Dreikörpersystem nach Lagrange

Berechnung des Dreikörperproblems

Es fällt immer wieder auf, dass bei der Berechnung astronomischer Probleme der Sonderfall verallgemeinert wird. So auch bei der Berechnung des Dreikörperproblems durch LAGRANGE. Erstaunlich auch, dass in den mir vorliegenden Büchern nur das Ergebnis, nie aber der Rechengang kolportiert wird, ganz abgesehen von einer kritischen Betrachtung.

Nachvollziehbar ist die Feststellung, dass zur Berechnung  der die Bahnen charakterisierenden 18 geometrischen Größen (Bahnelemente) ebenso viele voneinander unabhängige Gleichungen (Integrale) erforderlich wären. Es lassen sich aber im allgemeinen Fall nur zehn solcher Gleichungen aufstellen: sechs davon liefern Ort und Geschwindigkeit des Schwerpunktes der drei Körper, der sich stets gleichförmig auf einer geraden Linie bewegt (Schwerpunktsatz); drei weitere Gleichungen sind durch den Satz von der Erhaltung des Gesamtdrehimpulses (Drehimpulssatz) gegeben, der dem zweiten  Keplerschen Gesetz (Flächensatz) beim Zweikörperproblem entspricht; die zehnte Gleichung liefert der Satz von der Erhaltung der Energie (Energiesatz). Andere Gleichungen, die für alle Fälle und für alle Zeiten gültig wären, gibt es nicht (1).

Die LAGRANGEschen Ausnahmefälle:

Nur in einigen ganz speziellen Ausnahmefällen ist eine strenge und geschlossene Lösung des Dreikörperproblems möglich.

die drei Körper verharren während der Bewegung ständig auf einer sich um den Schwerpunkt drehenden geraden Linie, wobei die Verhältnisse ihrer gegenseitigen Abstände, die durch das Verhältnis der drei Massen bestimmt sind, unverändert bleiben;

die drei Körper bilden während der Bewegung ständig ein gleichseitiges Dreieck (2).

Dazu ist folgende (fettgedruckte) Bemerkung außerordentlich wichtig:

Hält man in einem sich drehenden Koordinatensystem die Lage der Massen m1 und m2  fest, so befindet sich in diesen Ausnahmefällen die dritte Masse (m3) in einem der fünf Punkte L1, L2, …, L5. Die Punkte L1 bis L3 liegen auf der Verbindungsgeraden von m1 und m2;  … … und dass m3 gegen die beiden anderen Massen sehr klein ist.

Dieser letzte Satz ist der springende Punkt: Im Grund ist es banal, dass eine kaum relevante Masse (m3) keinen Einfluss auf andere, wesentlich größere Massen im betrachteten System hat.

Lagrange:Abb.1

Abb. 1

In Abb. 1 ist die erste Situation angedeutet. Die Massen m1 und m2 haben jeweils die Gravitationsbeschleunigung a = G * m/(R + h)2  [m/s2]. Auf dem angedeuteten Halbkreis in Abb. 1 befinden sich die Orte, an denen die Gravitationsbeschleunigung beider Massen gleich groß ist. Auf der x-Achse (Librationspunkt L1) zwischen den Massen m1 und m2 neutralisieren sich a1 und a2. Auf dem Rest des (Halb-)Kreises bewirken die Gravitationskräfte eine resultierende Kraft stets in Richtung dieses Punktes L1. Der Punkt L1 hat nichts mit dem Schwerpunkt S.P. des Systems, um den die beiden Massen rotieren, gemein. Auf der Position L2 (genauso auf der Position L3 , jenseits von m1 auf der x-Achse) kann also eine Masse kaum stabil stationiert sein, da auch ihre Winkelgeschwindigkeit ω3 sich von ω2 und ω3 der beiden anderen Massen unterscheidet.

Berechnet man die Situation für das System Sonne÷Erde, dann erhält man aS = aE = 5,9308*10-3 [m/s2]. Die Librationspunkte L1und L2 liegen in einer Entfernung von der Sonne bei D1 = 1,1864*1011 und D2 = 1,4916*1011 [m]. Während die Erde um den Schwerpunkt des Systems mit ω = 1,991*10-7 [s-1] rotiert, besitzt der Librationspunkt L2 eine Winkelgeschwindigkeit von ωL2 = 2,815*10-7 [s-1], der Mond im Vergleich dazu hat ωM = 2,6617*10-6 [s-1].

Zum Punkt 2 soll der in der Fußnote 2 erwähnte Fall nachgerechnet werden. In Abbildung 2 sind die Massen, um das Prinzip deutlich zu machen, mit M1 = 100, M2 = 50 und M3 = 25 angenommen worden.

Lagrange:Abb.2

Abb. 2

Während die kleinen Quadrate in der Zeichnung die Schwerpunkte in den Systemen M1÷M2, M2÷M3 und  M3÷M1 kennzeichnen, steht der schwarze Punkt für den Schwerpunkt des „Dreierkörpers“. Die jeweiligen Abstände der Körper von den Schwerpunkten sind mit r gekennzeichnet. Wenn nun das gesamte System um seinen gemeinsamen Schwerpunkt rotieren sollte, dann müsste jede Masse auf einer eigenen Umlaufbahn laufen, z. B. die Masse M1 im Abstand rSP1 um den Schwerpunkt, usf. Rechnet man mit G = 1 und D1 = D2 = D3 (zwangsläufig bei α = β = γ = 60 [°]), erhält man ω1 = 0,5051, ω2 = 0,4768 und ω3 = 0,5051. Das heißt aber auch, dass sich das Sternbild verändert. Nicht nur rotiert das Bild um den Schwerpunkt, sondern es wird auch verzerrt, denn in diesem hier vorgestellten Fall bleibt die Masse M2 bei der Drehung zurück, weshalb das Dreieck nicht mehr gleichseitig bleibt. Das gilt auch für alle Verhältnisse von drei unterschiedlichen Massen. Einzig bei Massengleichheit (M1 = M2 = M3) bleibt im Prinzip die Sternkonstellation erhalten.

Selbst bei einem Masseverhältnis wie MSonne : MErde : MMond ≈ 333 : 1: 0,0123 wäre die Winkelgeschwindigkeit der Massen zwar geringfügig unterschiedlich (ωSonne : ωErde : ωMond ≈ 0,5832 : 0,5780 :0,5792), aber über die Dauer astronomischer Zeiten würde auch diese Konstellation verändert. Der Schwerpunkt des Sonnensystems liegt übrigens in der Nähe des Sonnenzeentrums.

Zusammenfassung:

Die von LAGRANGE berechneten Punkte (3) sind, wenn überhaupt, nur in ganz speziellen Kombinationen richtig. Die zentrale Masse muss gegenüber den anderen beteiligten Massen sehr groß, also die beiden anderen Massen praktisch Null sein. Dass die Punkte L4 und L5 keine bevorzugten Orte in Umlaufbahnen sind, zeigen die Ringe des Saturns, in denen kleine Massen relativ gleichmäßig in den Bahnen verteilt sind. Es muss auch erörtert werden, wann eine kleinere Masse M3, wie beispielsweise der Mond, nicht mehr auf einer gesonderten Bahn um die Sonne rotiert, sondern zusätzlich die Erde als Satellit umrundet.


(1) K. Stumpff, Astronomie, 1957, Fischer Verl., Frankfurt a. M., S. 58

(2) K. Stumpff, Astronomie, 1957, Fischer Verl., Frankfurt a. M., S. 59

(3) H. U. Keller. Kosmos-Himmelsjahr 2006, S. 224 ff.


(Jan. 2007)


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Aktualisiert:7.12.2015, Copyright: G. Dinglinger, 41564 Kaarst  Mail: gdinglinger@gmx.de