Physik-Lehrbücher

Mangelnde Sorgfalt bei Verfassung von Physik-Lehrbüchern?


Zusammenfassung:

Ganz streng gesehen muss das Fallgesetz etwas präzisiert werden. Nicht ein Gegenstand fällt auf die Erde, die wesentlich grössere Masse, zu sondern beide Massen fallen sich entgegen. Nur die größere Masse langsamer als die kleinere. Das sollte immerhin bei der Theorie berücksichtigt werden.

Mich wundert sehr, mit welcher Schludrigkeit in vielen Physiklehrbüchern theoretische Grundlagen abgehandelt werden. Da aber die "Herren der Kritikzulässigkeit" keine alternativen Denkmuster zur Veröffentlichung freigeben, bleibt z. B. der Weg über diese Homepage. Vielleicht macht sich irgendjemand die Mühe, die folgenden Gedanken durchzulesen.


Erhaltung der Gravitationsenergie / Fluchtgeschwindigkeit

Zitat (1):
Ein Geschoss der Masse m werde mit einer Geschwindigkeit v1 senkrecht nach oben geschossen. Welche Höhe kann es erreichen? Kann es die Erde verlassen und nach r = ∞ gelangen? r2 sei der maximal erreichbare Abstand vom Erdmittelpunkt. An diesem Punkt ist die kinetische Energie K2 = 0. Da K + U immer konstant bleibt, gilt:
1/2*m*v12+ U1 = 0 + U2
Zitat Ende


Hier liegt ein Missverständnis im Ansatz vor! Wie ich in einigen Kommentaren erwähnte, muss scharf unterschieden werden, ob es sich bei den Geschwindigkeiten v um konstante Kreis- bzw. Ellipsenumlaufbahnen, oder um eine senkrecht nach oben weisende Anfangsgeschwindigkeit handelt. Selbstverständlich kann man nach den hier aufgeführten Gleichungen die Geschwindigkeiten errechnen, die ein Körper auf einer Umlaufbahn um einen Zentralkörper besitzen muss, um im Gleichgewicht zu sein, bzw. ab welcher Grenzgeschwindigkeit er die Anziehungskraft des zentralen Körpers verlässt. Das hat aber gar nichts mit dem "Schuss nach oben", oder umgekehrt mit einem "Fall nach unten" zu tun.
Rechnet man, mit welcher Geschwindigkeit eine Masse die Erde fliehen kann, dann erhält man aus der Gleichung für die 2. Kosmische Geschwindigkeit
vP = (2*G*ME/RE)0,5= (2*6,67*10-11*5,97*1024/ (6,38*106))0,5 ≈ 1,119*104 [m/s]
Umgekehrt müsste eine Masse, die aus dem Unendlichen mit Anfangsgeschwindigkeit
v0 = 0 auf die Erde zufällt, die gleiche Geschwindigkeit als Aufprallgeschwindigkeit haben, wobei in der Gleichung für vP die Masse des fallenden Körpers keine Rolle spielt.
Aber diese fallende Masse würde nicht so wie ein Stein senkrecht in einen Brunnen fallen, sondern sich der Erde, wegen des universellen Rotationsprinzips in einigen Umlaufbahnen nähern.
Würden jedoch aus irgendeinem unerfindlichen Grund die zwei vorerwähnten Massen die Rotation einstellen, die Zentrifugalkräfte also ausfallen, dann müssten diese Massen, wegen der Massenanziehungskräfte, auf einander zustürzen. Nimmt man als Beispiel das System Erde-Mond, dann würde sicherlich ein Erdbewohner den Mond auf die Erde zustürzen sehen und nur den Mond fallen sehen. Das ist aber eine subjektive Sicht. Selbstverständlich fielen sie aus ihrer Anfangsdistanz DA auf einander zu und würden im gemeinsamen Schwerpunkt des Systems, bzw. dessen Nähe, kollidieren, wobei der eventuelle Mondbewohner genau so subjektiv die Erde auf sich zufallen sieht.
Deutlich wird das bei zwei völlig identischen Massen, die in diesem Falle in der Mitte der Distanz bei D/2 (dem gemeinsamen Schwerpunkt) mit jeweils gleicher Geschwindigkeit v kollidieren würden.

Lehrb.1

Abb. 1


Würde die Situation ergeben, dass die Massen ungleich sind, dann verschiebt sich der Punkt S.P. in Richtung der grösseren Masse:
DA = rMA + rmA
rMA = DA* m / (M + m
rmA = DA - rMA = M/(M + m )
Würden nun, wie oben geschildert, plötzlich die Kräfte zFM undzFm wegfallen und die Massen sich jetzt aufeinander zu bewegen, dann würde sich die grössere Masse dem Schwerpunkt langsamer nähern, als im Gegenzug die kleinere Masse.


Lehrb.2

Abb. 2


Prinzipiell bewegen sich also beide Massen. Dem Erdbewohner ist das jedoch nicht ohne weiteres ersichtlich:
  1. Die Masse der Erde ist im Allgemeinen gewaltig größer als (im Experiment) fallende Massen. Dadurch fällt der Schwerpunkt des Systems praktisch mit dem Massezentrum der Erde zusammen.
  2. Der Beobachter auf der Erde ist allgemein auch Teil des Systems Erde und wird somit kaum die Erdbewegung (die er mitmacht) beobachten können.
Nimmt man für eine Berechnung der jeweiligen Geschwindigkeiten als Funktion der Distanz der Massen (v = f(D), wobei sich die Massen bis zur Kollision nur bis DE = RM + Rm nähern) an und dass die Anfangsdistanz DA = DErde-Mond ist, dann ergibt sich, nur für den Mond errechnet, ein Geschwindigkeitsverlauf wie in Abbildung 3 gezeigt. Dabei ist die Abszisse (Weg) 0 > sm = DE

Lehrb.3

Abb. 3


Die absolute (bezogen auf den Weltraum) Fallgeschwindigkeit des Mondes:
0 > vm ~ 3,85*103 [m/s].
Ähnlich lässt sich auch die Fallgeschwindigkeit der Erde berechnen, wobei das Ergebnis in Abbildung 4 dargestellt ist. Die Geschwindigkeit vM ~ 50 [m/s] ist erheblich geringer, was auch für die Fallstrecke sM gilt.
Die relative Fallgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, mit der beide Körper auf einander zufallen und letztlich prallen, ist dann
vrel.= vm + vM ~ 3,9*103 [m/s]
Diese Geschwindigkeit ist allerdings erheblich geringer, als eine Berechnung aus folgender Gleichung ergeben würde: v = (2*G*M*(1/RM - 1/DA))0,5 = 1,11*104 [m/s]

Lehrb.4

Abb. 4


Wie nicht anders zu erwarten, ergibt diese Berechnung auch, dass beide fallenden Körper die gleiche Zeit tm = tM ~ 3,6*105 [s] ~ 4 [d] (s. Abbildung 5) für ihren Weg bis zur Kollision benötigen:

Lehrb.5

Abb. 5


Lehrb.6

Abb. 6


Nun stellt sich noch die Frage, wie sich das Verhältnis der beteiligten Massen zu einander auf die Fallgeschwindigkeit auswirkt.
In Abbildung 7 wird ganz allgemein (d.h. für 1 > m/M > und der Voraussetzung, dass beide Massen die gleiche Dichte besitzen) diese Frage beantwortet. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass die Radien der Körper auch deren grösstmögliche Annäherung bestimmen (DE = RM + Rm), wodurch sich der Fallweg auch etwas vergrössert.

Lehrb.7

Abb. 7


In ähnlicher Form wurden die Fallzeiten in Abhängigkeit vom Massenverhältnis m/M berechnet und in Abbildung 8 dargestellt.

Lehrb.8

Abb.8


Folgendes fällt auf:
  a) Man würde bei der angenommenen Situation wesentlich geringere, relative Endgeschwindigkeiten (Kollision) errechnen, als die kosmischen (vK = 7912 [m/s], vP = 11190 [m/s]) Geschwindigkeiten.
Dabei muss allerdings bedacht werden, dass kosmische Geschwindigkeiten aus einer Gleichgewichtsberechnung zwischen Gravitationsfeld und Umlaufgeschwindigkeit vU eines Satelliten m um die Masse M herrührt. Außerdem wird die hier angenommene Situation kaum eintreten, dass im Raum rotierende Massen plötzlich aufeinander zufallen, denn das Rotationsprinzip des Weltalls und die Gravitationsfelder ließen das nicht zu.
  b) Es sollte gezeigt werden, dass - im strengeren Sinn -, frei fallende Masse auf einander zufallen, wobei beide Massen für einen außen stehenden Beobachter ihre eigene Fallgeschwindigkeit haben. Der irdische Beobachter registriert jedoch nur die relative Annäherung der sich ihm nähernden Masse.
  c) Es spielt zwar auch die Dichte der Massen für die Fallgeschwindigkeit eine, wenn auch geringe Rolle. Ist die Dichte der fallenden Masse gering, dann ist ihr Volumen und damit auch der Radius des Körpers groß. Die in der Realität in Frage kommenden Massen sind im Vergleich zur Erdmasse gering. Im praktischen Versuch wird es jedoch kaum gelingen, z. B. 1 kg Federn auf die Dichte einer vergleichbaren Eisenmasse zu bringen, ohne deren Charakter zu ändern. Aber man wird auch das Fallen unterschiedlicher Körper im Vakuum auf größeren Fallstrecken im praktischen Versuch kaum verwirklichen können.

Zur Berechnungsmethode:
Wie aus der Abbildung 8 zu ersehen ist, ergibt sich für jede Gravitationsbeschleunigung a eine Kurve in Abhängigkeit von der Distanz D (bzw. s), wobei die Gleichung
t = (2*s/a)0,5  aus  s = x - x0 = v0*t + 0,5*a*t2
stets davon ausgeht, dass  x0 = 0 und v0 = 0 ist.
Deshalb wurde der Verlauf von t (aber auch v) schrittweise für jeden Abschnitt D (bzw.smn = rmA - Dn*sM) berechnet. Entsprechend: sMn = rMA - Dn*sm.

Lehrb.9

Abb. 9


Das wurde in der Abbildung 9 durch die Pfeile angedeutet, die quasi die Verschiebung des folgenden Geradenstücks a2 zum Anschluss an das Geradenstück a1 verdeutlichen soll.
Für das System Erde-Mond gilt dann:

G = 6,67*10-11 [Nm2/kg2]

M = 5,97*1024 [kg]                         m = 7,35*1023 [kg]

RM = 5,97*106 [m]                       Rm = 1,74*106 [m]

aM = G*M/D2 [m/s2]                     am = G*m/D2 [m/s2]

σM = M/(M+m) = 0,988                   σm = m/(M+m) = 0,012

DA = 3,85*108 [m]                       DE = RM+Rm = 8,12*106 [m]

rMA = DA*sm = 4,68*106 [m]       rmA = DA*sM = 3,80*108 [m]

tn1’ = (2*sn/an)0,5 [s]                   tn2’ = (2*sn+1/an)0,5 [s]

dtn = t2n – t1n

tn1 = tn1’ + dtn-1                           tn2 = tn2’ + dtn-1

vn1’ = an*tn1 [m/s]                       vn2’ = an*tn+1 [m/s]

dvn = vn2 – vn1

vn1 = vn1’ + dvn-1 [m/s]                 vn2 = vn2’ + dvn-1 [m/s]

Wählt man nun die Schritte   ΔD = (DA- DE)/x   klein genug (z.B. mindestens x = 1250), dann erhält man ziemlich genaue Werte für die gesamte Fallzeit t und die Aufprallgeschwindigkeit v :
tm = tM ≈ 3,544*108 [s] ≡ 4,1 [d]
Vom Start bis zum Aufprall benötigen beide Körper, was zu erwarten war, die gleiche Zeit.
vm ≈ 3,88*103 [m/s]   vM ≈ 4,8*101 [m/s]
Da beide Geschwindigkeiten gegeneinander gerichtet sind, ergibt sich eine relative Annäherungsgeschwindigkeit bei der Kollision von
vrel. ≈ 4*103 [m/s]

Schlussbemerkung:
Eine ähnliche Überlegung zeigt, dass die Gesetze von KEPLER auch nur Näherungsgleichungen sind, die zwar für den irdischen Beobachter zu ausreichenden Werten führen, jedoch theoretisch nicht exakt sind. Grundsätzlich rotieren Himmelskörper stets um ihren gemeinsamen Systemschwerpunkt. Das bedeutet, dass sich das "Zentralgestirn" genauso um diesen Schwerpunkt dreht, wie der zugehörige Planet. Nur befindet sich der gemeinsame Schwerpunkt wegen der wesentlich kleineren Masse des Planeten in der Nähe des Massenschwerpunktes des grösseren Gestirns. Für die Berechnung der Umlaufbahn ist dieser Ansatz insofern sehr wichtig, weil nun der Bahnverlauf nicht mehr durch Iteration ermittelt werden muss (2).


(1)   Jay Orear,Physik, C. Hanser Verlag, München, S. 124
(2)   Günter Dinglinger, Korona, AAK, 28. Jahrg. 83/2000


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Aktualisiert:7.12.2015, Copyright: G. Dinglinger, 41564 Kaarst  Mail: gdinglinger@gmx.de